Penalaran Dalam Matematika

   Ada dua tipe penalaran dalam matematika, yaitu penalaran deduktif  dan Penalaran Induktif. Penalaran deduktif biasanya digunakan dalam pembuktian suatu teorema atau dalail. Pembuktian suatu teorema pada dasarnya adalah penurunan teorema tersebut dari definisi, aksioma atau teorema  yang telah dibuktikan menurut suatu penalaran yang logis untuk menurunkan atau membuktikan suatu teorema dikatakan sebagai penaranan deduktif.

    Suatu pernyataan disebut teorema jika pernyataan itu telah dibuktikan kebenarannya secara deduktif. sutau pernyataan yang ingin dibuktikan (dengan/hipotesis) bisa muncul dari intuisi atau dari susunan data percobaan. Menyusun data sedemikian hingga dapat ditarik suatu kesimpulan yang berlaku umum, biasanya disebut penalaran induktif. Kesimpulan yang diperoleh dengan cara ini baru disebut teorema dugaan. Teorema dugaan ini masih perlu dibuktikan secara deduktif agar menjadi suatu teorema.

    Meskipun penalaran deduktif merupakan suatu penalaran yang absah dan sangat penting dalam matematika, tetapi dalam tulisan ini tidak dibicarakan secara meluas. Berikut contoh-contoh dalam penalaran induktif untuk memperoleh generalisasi (yang sebenarnya masih perlu dibuktikan secara deduktif).

    Matematika dapat dipandang dari suatu segi sebagai suatu bidang study yang menekankan pada kreatifitas. Sedangkan untuk mengembangkan daya kreatifitas diperlukan beberapa aspek pemikiran diantaranya adalah penalaran. Salah satu ciri utama matematika terletak pada penalarannya. Untuk dapat memahami penalaran perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 1.1 Buatlah segitiga lancip dan ukurlah besar tiap-tiap sudutnya dengan busur derajat. Berapa derajatkah besar ketiga sudutnya? Buatlah pula segitiga siku-siku dan segitiga tumpul. Berapa derajatkah jumlah ketiga sudut dari tiap-tiap segitiga tersebut?

Apakah Anda memperoleh bahwa jumlah besar ketiga sudut dari tiap-tiap segitiga itu 180 derajat? Jika tidak, ulangi kembali mengukur besar sudut tipa-tiap segitiga yang Anda buat. Apakah yang dapat Anda simpulkan dari kejadian-kejadian itu? Apakah kesimpulan Anda sebagai berikut?

Jumlah besar ketiga sudut dalam suatu segitiga adalah 180 derajat.

Pada contoh 1.1 ini, Anda membuat tiga buah segitiga dan mengukur besar sudut tiap-tiap segitiga dengan busur derajat. Dan Anda memperoleh bahwa jumlah ketiga sudut dalam masing-masing segitiga yang Anda buat adalah 180 derajat. Dari tiga contoh segitiga yang Anda buat itu ditarik kesimpulan bahwa jumlah besar ketiga sudut dalam segitiga adalah 180 derajat. Penarikan kesimpulan dari contoh-contoh seperti ini menggunakan penalaran induktif.

Contoh lain dari penalaran induktif dalam matematika adalah sebagai berikut:

Contoh 1.2


Berapakah hasil penjumlahan berikut ini?
1 + 3 + 5 + 7 + ... + 199.
untuk menjawab pertanyaan tersebut dibuta pola sebagai berikut!

Banyak suku                           Penjumlaha                                 Hasil
1                                              1                                                 1 = ... pangkat 2
2                                              1 + 3                                           4 = 2 pangkat ...
3                                              1 + 3 + 5                                     9 = ... pangkat 2
4                                              1 + 3 + 5 + 7                              16 = 4 pangkat ...
5                                              1 + 3 + 5 + 7 + 9                        25 = ... pangkat 2
6                                              1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11                36 = 6 pangkat ...
dst.
100                                          1 + 3 + 5 + 7 + ... + 199            ... = ... pangkat 2

Lengkapilah titik-titik pada kolom hasil dari  pola tersebut. Anda akan memperoleh bahwa:
1 + 3 + 5 + 7 + ... + 199 = 100 pangkat 2 = 10.000

Pada soal tersebut 199 merupakan bilangan ganjil ke -100.

Berapakah bilangan ganjil ke-n?
Berapakah jumlah n bilangan ganjil pertama, yaitu:
1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n pangkat 2.