Bilangan Bulat dan Bilangan Romawi

Pembelajaran bilangan bulat diberikan setelah pembelajaran bilangan cacah, bilangan asli, dan bilangan pesahan positif. Pemahaman dan penggunaan bilangan bulat negatif sudah menjadi kebutuhan manusia untuk bisa hidup dalam lingkungannya. Karenanya makin awal anak memahami bilangan bulat negatif makin baik. Namun, karena waktu yang tersedia untuk pelajaran matematika maka topik bilangan bulat negatif baru dapat diberikan pada kelas atas SD.

Bagi kita sebagai seorang guru SD yang akan mengajarka mata pelajaran matematika di SD tentunya sudah mengenal dengan apa yang disebut bilangan bulat. Kita sudah tahu bahwa bilangan bulat adalah penggabungan dari bilangan-bilangan cacah yaitu 0, 1, 2, 3, ..., dan seterusnya. Dengan bilangan-bilangan asli yang negatif, yaitu -1, -2, -3, -4, ... dan seterusnya. Jadi, bilangan-bilangan bulat yaitu ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... terdiri dari bilangan-bilangan bulat positif ( bilangan-bilangan asli)b yaitu 1, 2, 3, 4,... bilangan-bilangan bulat negatif yaitu ..., -4, -3, -2, -1 dan bilangan nol (0), yaitu bilangan yang tidak positif dan tidak pula negatif (netral). Sedangkan bilangan-bilangan cacah adalah penggabungan bilangan-bilangan asli dengan nol (0). Hubungan antara bilangan-bilangan asli, cacah, nol, dan bulat secara singkat dapat disajikan sebagai berikut. (Gambar 3.1).

bilangan cacah

dst ... -4, -3, -2, -1,      0,     1, 2, 3, 4, ... dst

bilangan bulat negatif               bilangan bulat positif (bilangan asli)

     nol

(bilangan yang tidak positif dan tdak negatif)

                                    Gambar 3.1.

Sebenarnya yang menjadi masalah utama bagi kita adalah bagaimana cara-cara mengajarkan konsep bilangan-bilangan bulat ini, khususnya bilangan-bilangan bulat negatif kepada para siswa di SD?. Mengingat konsep-konsep bilangan bulat ini untuk pertama kalinya didengar, diketahui, dipahami dan dimengerti adalah di SD. Khusus mengenai bahasan ini akan kita diskusikan pada bagian akhir pada kegiatan belajar 1 (penerapan bilangan negatif dalam masalah sehari-hari).

Perlu pula dijelaskan, bahwa keberadaan bilangan bulat adalah suatu kebetulan sekaligus sebagai perluasan dari keberadaan bilangan cacah saja, kita belum mampu menjawab masalah yang terdapat pada matematika maupun dalam keseharian, misalnya  “Berapakah 4 - 7 ?”, “Hitunglah x dari persamaan x – 9 = 3”, “Dua ratus meter dibawah permukaan tanah”. Untuk menjawab permasalahan tersebut maka para ahli menciptakan bilangan baru, yaitu bilangan bulat negatif.

Titik nol adalah titik nol yang mewakili bilangan nol. Titik-titik yang ada disebelah kiri titik nol mewakili bilangan bulat negatif dan titik-titik disebelah kanan bilangan nol mewakili bilangan bulat positif.

Selanjutnya guru menjelaskan, bahwa dari garis bilangan asli yang merupakan representasi bilangan asli berkembang ke garis bilangan cacah merupakan representatif dari bilangan cacah. Kemudian dari garis bilangan cacah dapat berkembang lagi dengan cara memperpanjang ke sebelah kiri sehingga diperoleh

garis bilangan bulat sebagai pepresentasi dari bilangan bulat. Representasi bilangan-bilangan asli, bilangan-bilangan cacah dan bilangan-bilangan bulat pada garis bilangan.

Berdasarkan uraian tersebut diatas, kita telah mendapatkan garis bilangan bulat sebagai representasi dari bilangan-bilangan bulat. Kumpulan bilangan-bilanganh bulat yang jumlahnya sangat banyak yaitu tak berhingga dapat6 dibagi kedalam tiga kelompok besar, yaitu :

1.      Kumpulan bilangan-bilangan bulat positif (bilangan asli) : 1, 2, 3, 4, 5, ... dan seterusnya.

2.      Kumpulan bilangan-bilangan bulat negatif : -1, -2, -3, -4, -5, ... dan seterusnya.

3.      Bilangan nol atau 0, yaitu bilangan bulat yang tidak positif dan tidak pula ndegatif.

MENGURUTKAN DAN MEMBANDINGKAN BILANGAN BULAT

Setelah para siswa memahami konsep bilangan bulat maka dalam kesempatan sekarang inin kita akan mempelajari konsep hubungan antar bilangan bulat. Seperti telah diketahui dari pelajaran sebelumnya bahwa hubungan itu dapat berupa ketidaksamaan, yaitu “kurang dari” atau “lebih kecil dari” dan “lebih dari” atau “lebih besar dari”.

Bilangan bulat a lebih kecil dari bilangan bulat b jika ada bilangan bulat c sehingga a = c = b atau a = b - c. Lambang untuk “lebih kecil dari” adalah “6 < 9”, sedangkan lambang untuk “lebih besar dari” adalah “ > “.

           

a < b jika ada bilangan positif c sehingga a = c = b

3 < 5 sebab 3=2 = 5                                                                 4 < 6 sebab 4 =2 = 6 -7 < -4 sebab -7 + 3 = -4                                                         -3 < 2 sebab -3 + 5 = 2

Dengan cara pembelajaran yang sama, kita dapat membimbing para siswa untuk memahami konsep “lebih besar dari” ( > ). Alternatif langkah-langkahnya dapat dilakukan seperti diatas. Namun, sebelumnya perlu diarahkan bahwa bilangan bulat a lebih besar dari bilangan bulat b ( a > b ) jika ada bilangan bulat c sehingga a = b + c atau a – c + b.

Kegiatan lainnya dapat dilakukan dengan membimbing para siswa mengurutkan dan menentukan posisi bilangan bulat dengan menggunakan garis bilangan. Dalam membuat garis bilangan ini terlebih dahulu ditetapkan panjang satuannya dan sebuah titik yang ditentukan bilangannya, misalnya 3. Dari titik 3 ini dibuat titik-titik yang berjarak 1, 2, 3, 4, dan seterusnya ke sebelah kanan dan ke sebelah kiri.

Sebetulnya pengertian “lebih besar dari” dapat saja diturunkan melalui tanya jawab secara sederhana dari pengertian “lebih kecil dari”, yaitu a > b jika b < a, sebab jika titik yang mewakili bilangan a pada garis bilangan ada di sebelah kanan titik yang mewakili bilangan b maka titik b ada di sebelah kiri titik a.

Selanjutnya untuk lebih memperkuat pemahaman siswa terhadap konsep hubuingan ketidaksamaan ini yaitu untuk “ lebih besar dari” dan “lebih kecil dari”, kita berikan beberapa variasi soal latihan di kelas atau untuk di rumah, misalnya para siswa diminta untuk melengkapi bagan seperti berikut.

Pada garis bilangan titik -3 terletak disebelah kiri titik -1, berarti -3 < -1 Titik -5 < 2 sebab titik -5 terletak disebelah kiri titik 2

Dari uraian tanya jawab di atas, guru bersama para siswa dapat menyimpulkan bahwa, jika titik a terletak di sebelah kiri titik b maka a < b dan jika titik a terletak di sebelah kanan titik b maka a > b.

BILANGAN YANG TERLETAK DI ANTARA DUA BILANGAN BULAT

Perlu pula diketahui bahwa diantara dua bilangan bulat yang berurutan terletak sangat banyak sekali bilangan lain. bilangan-bilangan lain ini tentu saja bukan merupakan bilangan bulat, misalnya diantara bilangan 2 dan 3 terletak bilangan-bilangan , misalnya , , ,dan sebagainya. Demikian pula diantara dua bilangan bulat yang  berurutan lainnya selalu terdapat tak hingga banyaknya bilangan lain yang bukan bilangan bulat.

Selanjutnya kita perlu memberikan penjelasan tentang arti kedudukan dari suatu bilangan bulat negatif , karena ada pula bilangan negative yang tidak bulat yaitu yang terletak diantara bilangan-bilangan bulatnya seperti  dan  serta bilangan-bilangan negative lainnya. bilangan  terletak diantara nol (0) dan negative 1 (-1) , sedangkan  akan berada diantara negative 3 (-3) dengan negative 4 (-4) , dan lain lain. bilangan-bilangan seperti ini dikenal sebagai bilangan pecahan negative.

LAWAN SUATU BILANGAN BULAT

Perlu kita perhatikan bahwa sebenarnya ada perbedaan antara tanda bilangan negative dengan tanda pengerjaan operasi hitung kurang. Ada perbedaan antara (-) pada -5(negative 5) dengan tanda (-) pada -5 (kurang lima). Bilangan bulat negative 9 semestinya ditulis ‾9 bukan -9.karena sulit dalam pencetakan maka keduanya ditulis sama. Namun demikian kita harus menanamkan perbedaan konsep antara tanda kurang dan bilangan negative.

Hendaknya pada tulisan negative 5 dibedakan dengan tanda (-) pada pengerjaan hitung 9-5 (Sembilan kurang lima). Tanda (-) pada pengertian yang pertama , yaitu -5 menunjukan bilangan bulat negative bahwa kedudukan bilangan -5 pada suatu garis bilangan berada disebelah kiri titik pangkal nol (0) , dan disebut dengan bilangan negative 5 . sedangkan pada tanda (-)pada bentuk 9-5 menunjukan ops.kurang .

1)      9-5 dibaca Sembilan kurang lima

2)      -9 – 5 dibaca negative Sembilan kurang lima

3)      9 – (-5) dibaca Sembilan dikurang negative lima

4)      -9 – (-5) dibaca negative 9 dikurang negative lima

Misalnya, kita menunjukkan pada garis bilangan dan menjelaskan bahwa letak titik -3 berjarak 3 satuan disebelah kiri titik pangkal nol (0) dan letak 3 ada di sebelah kanan titik pangkal nol . dikatakan -3 adalah lawan dari 3 karena -3 ada di sebelah kiri pangkal titik nol sedangkan 3 ada disebelah kanan pangkal titik nol.

 PENERAPAN BILANGAN NEGATIF DALAM MASALAH SEHARI-HARI

Tanpa disadari para siswa SD telah mengenal konsep tersebut dalam kehidupan sehari-harinya.Misalnya :

1. Ani maju 3 langkah , sedangkan Ali mundur 4 langkah . Contoh seperti ini bisa kita

jelaskan kepada anak SD dengan cara: ketika Ani maju 3 langkah bisa menjadi Ani

maju sebanyak positif 3 langkah (+3) dan Ali mundur 4 langkah bisa menjadi Ali

mundursebanyak negative 4 langkah (-4)

4

3

2

1

1

0

3

2

 

Ali              Ali Ani                 Ani

2.      Kemudi kapal berada 2 meter diatas permukaan air dan baling-baling kapal berada 1 meter dibawah permukaan air. “ kapal berada 2 meter diatas air ” bisa menjadi positif 2 , dan “ 1 meter dibawah permukaan air ” bisa menjadi negative 1 .

3.      Ahmad mempunyai uang 5000 rupiah dan Tika memiliki utang 4000 rupiah. ( Ahmad mempunyai uang positif 5000 dan tika memiliki utang  negative 4000.

A.OPERASI PENJUMLAHAN,PENGURANGAN,PERKALIAN,DAN

PEMBAGIAN

1.Operasi Penjumlahan

Operasi hitung penjumlahan pada bilangan bulat sering pula di sebut sebagai pengerjaan hitung penjumlahan bilangan bulat atau penjumlahan bilangan bulat. Dalam penjumlahan bulangan bulat seperti halnya penjumlahan pada bilangan asli dan bilangan cacah,yaitu kita menggunakan tanda tambah atau plus dengan notasi (+) dan tanda kurang atau selisih atau minus dengan (-) .

Untuk menjelaskan sebagian pengerjaan hitung pada bilangan bulat, khususnya bilangan bulat negatif akan kita gunakan garis bilangan .karena dengan garis bilangan ini akan memudahkan anak dalam memahami mengerjakan hitung .selain itu, sebagian pengerjaan hitung pada bilangan bulat negatif tidak dapat lagi menggunakan tanda tanda real, gambarnya, maupun diagramnya.hal ini berbeda dengan pengerjaan hitung untuk bilangan bulat tidak negatif (bilangan cacah) seperti telah kita lihat dalam modul sebelumnya.

1. Tatkala menggunakan garis bilangan ini sebaiknya kita menyiapkan kapur berwarna atau spidol 5+2=

berwarna sehingga warna untuk lambang bilangan pada garis bilangan dengan lambang bilangan yang menunjukan langkah langkah pengerjaannya berbeda .

Untuk memudahkan pemahaman anak didik dalam melakukan penjumlahan bilangan bulat,sebaiknya sebagai apersepsinya kita ulangi lagi sepintas mengenai penjumlahan dan pengurangan ( yang selisihnya positif) misalnya kita akan menjelaskan pengerjaan :

dari titik nol melangkah ke kanan (maju) sebanyak 5 langkah (satuan) di lanjutkan dengan melangkah ke kanan (maju) sebanyak dua langkah (satuan) lagi , dan hasilnya dapat di lihat pada garis bilangan,yaitu 5+2=7

2. 25-23=

setelah memberikan contoh seperti di atas,selanjutnya kita menyuruh salah seorang anak untuk menggunakan cara yang sama untuk mengisi kotak pada garis bilangan,misalnya 25+(-23) =

Dari contoh contoh di atas nampak bahwa penjumlahan dapat di tunjukan oleh gerakan melangkah ke sebelah kanan atau maju sedangkan pengurangan oleh tindakan melangkah ke sebelah kiri,atau mundur .

bilangan bulat positif diragakan oleh gerakan (pergeseran) kesebelah kanan atau maju, sedangkan bilangan bulat negatif diragakan oleh gerakan (pergeseran) sebelah kiri atau mundur .

Langkah berikutnya, kita mendiskusikan dengan para sisiwa penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, dan bilangan bulat negatif dengan bilangna bulat negatif. Misalnya kita mengambil beberapa contoh berikut ini .

1. 5+(-7)=

Perhatikan di sini, pertama-tama dari titik nol kita bergeser ke kanan sebnyak lima satuan dilanjutkan dengan bergeser kekiri sebnyak 7 satuan dan hasilnya menunjukan -2. Kenapa kita bergeser ke kanan lima satuan dan bergeser ke kiri tujuh satuan ? ingat +5 adalah bilangan positif dan -7 adalah bilangan negatif.

2. 6+(-2)= 6-2

Dari titik 0 bergeser ke kanan sebanyak 6 dilanjutkan dengan bergeser ke kiri sebanyak 2 dan hasilnya menunujukan 4. Bila kita perhatikan peragaan 6+(-2) di atas sama dengan peragaan 6-2 seperti terlihat pada gambar berikut ini.

Mulai dari 0 bergeser ke kanan 6 satuan dilanjutkan dengan bergeser ke kiri 2 satuan dan hasilnya menunjukan 4 dari contoh ini , nampak bahwa penjumlahan dengan bilangan bulat negatif sama saja dengan pengurangan oleh lawan nya; nyaitu 6+(-2) sama dengan 6-2 dengan 2 adalah lawan dari (-2). Ingat konsep lawan dari suatu bilangan bulat .

3. -5+(-3)=

Dari 0 bergeser ke kiri sebnyak lima dilanjutkan bergeser ke kiri lagi sebanyak tiga.

Dari contoh ini nampak pula bahwa penjumlahan dengan bilangan bulat negatif sama saja dengan pengurangan oleh lawan nya, jadi, -5+(-3)= -5 -3 , sebab 3 adalah lawan dari -3.

Selanjutnya salah seorang siswa kita suruh kedepan untuk meragakan menyelesaikan soal penjumlahan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif. Misalnya kita jadikan contoh yang ke 4 sebagai hasil diskusi dari pekerjaan siswa tadi.

4. 2+5

Dari titik 0 bergeser ke kiri sebanyak 2 satuan dilanjutkan dengan bergeser ke kanan sebanyak 5 satuan dan hasilnya menunjukan positif 3.

Setelah diberikan beberapa contoh sebagai topik diskusi seperti di atas tadi, selanjutnya kita berikan beberapa soal sebagai bahan latihan dikelas atau dirumah, misalnya beberapa variasi soal seperti berikut ini di minta untuk di hguatkan atau digambarkan pada garis bilangan ; 4+3 = , -3+(-3)=, 5+(-3)=, 3+(-6)=,-4+7=, dan -8+2=.

Sebagai pengayaan atau pendalaman tentang operasi penjumlahan ini dapat saja kita lanjutkan dengan diskusi untuk mencari suku-suku yang belum diketahui , misalnya beberapa contoh seperti berikut .

5. 5+n=-2

Dari titik 0 bergeser ke kanan sebanyak 5 satuan (apa sebabnya ?) dilanjutkan bergeser ke titik -2 . (beberapa satuan/langkah dan kemana arah pergeseran nya?). ternyata dari titik 5 sampai ke titik -2 diperlukan 7 langkah (satuan ) dengan arah pergeseran kesebelah kiri , jadi n= -7.

6. -5 +n=-3

Dari titik 0 bergeser ke sebanyak -5 (sebab negatif ), dan dari titik -5 bergeser ke kanan sampai ke titik -3 ternyata di perlukan 2 satuan ke sebelah kiri , berarti n = 2 ingat bergeser kanan berarti positif dan bergeser ke kiri berarti negatif.

Sebagai bahan pengecekan pemahaman para siswa diberikan variasi beberapa soal latihan. Misalnya, carilah suku yang belum diketahui dari soal –soal berikut ; 9+n = 6,6+n= -8,n+(-4)=-8,5+n=-5, n+(-3)=0, dan 6=n+(-9).

2. Operasi pengurangan

a.  4-7 =n

Dari titik 0 bergeser ke kanan 4 satuan, dilanjutkan dengan bergeser ke kiri sebanyak 7 satuan dan hasilnya menunjukan titik -3 atau dapat pula diperagakan berikut ini. Mengurangi  4 dengan 7 sama artinya dengan menambah 4 oleh lawan dari 7 yaitu -7 jadi, 4-7 =4+(-7)=-3 sehingga n = -3 ini berarti pada garis bilangan mulai dari 0 bergeser ke kanan sejauh 4 satuan (sebab positif) , dilanjutkan bergeser ke kiri sejauh 7 satuan (sebab negatif).

b.-5-3=n

Dari titik 0 bergeser ke kiri sebnyak 5 satuan dilanjutkan bergeser ke kiri lagi sebanyak 3 satuan dan hasilnya menunjukan titik -8 atau seperti gambar berikut.

Mengurangi -5 oleh 3 sama saja dengan menambah -5 oleh lawan 3 yaitu -3 sehingga -5-3=-5+(-3) berarti n =-8

c.6- (-2)=n

Mengurangi 6 oleh -2 sama artinya dengan menambah 6 oleh lawan -2 yaitu 2 jadi, 6-(-2)= 6+2= 8 sehingga n =8 atau seperti gambar berikut .

Dari beberapa contoh di atas, terutama dalam contoh (3) sebenarnya kita secara tidak langsung telah menggunakan relasi matematika . pada kedua contoh terakhir memperlihatkan bagaimana mengurangi bilangan bulat oleh bilangan bulat yang negatif. Unyuk menyelesaikan soal –soal semacam itu, selain penggunaan garis bilangan seperti di atas akan membantu sekali pada kita jika digunakan relasi matematika -(-a) = a sehingga soal –soal semacam contoh 3 di atas akan sangat mudah diselesaikan. Jadi, dalam contoh (3) 6-(-2)= 6+2=8 .

Kegiatan pembelajaraan selanjutnya untuk pemahaman operasi pengurangan bilangan bulat ini dapat dilakukan seperti kegiatan pembelajaraan operasi penjumlahan. Misalnya dipilih beberapa soal yang bervariasi untuk didiskusikan lebih lanjut , atau ditugaskan sebagai latihan dan pekerjaan rumah misalnya soal –soal berikut ; -7 –(-3)=n,3-(-6)=n,n=11-(-5),n=-16-(-30),2-23=n dan -17 -21=n

Sebagai pengayaan atau pendalamaan , kita dapat saja mendiskusikan bentuk soal –soal yang lebih bervariasi lagi , misalnya beberapa contoh berikut ini.

d.n-2=5

mengurangi n oleh -2 sama artinya dengan menambah n oleh lawan dari -2, yaitu 2. Jadi, n-2=5 dapat ditulis dalam bentuk n+(-2) =5.

Dari titik 0 bergeser ke kiri sebanyak 2 satuan , dilanjutkan bergeser ke kanan sejauh n untuk sampai ketitik 5. Jika diperhatikan paa garis bilangan, ternyata untuk mencapai ke titik 5, dari titik -2 di geser ke kanan sejauh 7 satuan . jadi, n=7.

e. -7-n=-3

mengurangi -7 oleh n sama artinya dengan menambah -7 oleh lawan n, yaitu –n. Jadi, -7-n sama dengan -7+(-n)=-3. Dari titik 0 bergeser ke kiri sebanyak 7 satuan (sebab negatif) dilanjutkan bergeser sejauh (-n) untuk sampai titik -3. Ternyata diperlukan sebanyak 4 satuan dengan arah kesebelah kanan jadi n= 4, atau n = -4 (ingat karna lawan dari n adalah –n maka – (-n) adalah lawan dari –n . tetapi kita mengetahui bahwa n adalah lawan dari –n jadi, -(-n) =n)

f. n –(-3)=8

Mengurangi n oleh -3 sama artinya dengan menambah n oleh lawan -3 , yaitu 3 . jadi , n -(-3)= n+(-3)=8 .

Mulai dari titik 0 bergeser ke kanan sejauh 3 satuan , dilanjutkan bergeser ke kanan sejauh n untuk sampai ke titik 8 . ternyata diperlukan 5 satuan dengan arah bergeser kesebelah kanan. Jadi, n=5.

Sebagai topik diskusi untuk soal –soal latihan diberikan beberapa variasi soal. Misalnya, mencari suku yang belum diketahui dari soal-soal berikut ; 9-n = -4,-8 –n =6,n-7=-3,n-9=11,n-(-2)=-7, dan -9-n=-12 .

3. operasi perkalian

Dalam bahasan yang sekarang ini , kita akan mengkhususkan melakukan perkalian pada bilangan bulat negatif. Topik ini merupakan topik yang sukar untuk dapat dipahami dan dimengerti oleh anak-anak usia sd umumnya.

Pembelajaraan perkalian bilangan bulat dapat dilakukan secara bertahap, yaitu :

1. Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif (pxp)
2. Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif (pxn)
3. Perkalian bilangan bulat negati dengan bilangan bulat positif (nxp)
4. Perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif (nxn)

a.       Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif (pxp)

Mengingat bilangan-bilangan bulat positif adalah bilangan asli dan setiap bilangan asli adalah bilangan cacah. Maka pembahasan tentang ini secara panjamg lebar vtelah kita pelajari pada kegiatan sebelumnya(modul 2 bilangan cacah).

b.      Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif (pxn)

Sebagi apersepsi , siswa di ajak melihat kembali pengertian perkalian yang telah dipelajarinya pada (pxp), yaitu bahwa perkalian adalah penjumlahan bilangan yang sama secara berulang.

Misalnya, 5x2 = 2+2+2+2+2 =10. Bertitik tolak dari disini lah kita akan menunjukan kepada para siswa tentang perkalian dua bilangan yang dimaksud (pxn), misalnya  4x(-2).

Seperti halnya pada perkalian (pxp) bahwa perkalian adalah penjumlahan berulang sehingga 4x(-2)= (-2)+(-2)+(-2)+(-2)=-8  kegiatan yang sama dapat dilakukan oleh para siswa untuk bentuk-bentuk seperti 3x(-7),5x(-5),6x(-3), dan sebagainya.

Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif (pxn) dapat pula dijelaskan dengan peragaan garis bilangan, yaitu sebagai berikut ini. Misalnya pada 4x (-2), mulai dari titik 0 bergeser ke kiri (mundur) sebab negatif sebanyak 4 langkah dan tiap langkahnya adalah 2 satuan (2 kotak) sehingga menunjukan titik –8. Jadi, 4x(-2) =-8.

Kegiatan lain untuk menjelaskan perkalian (pxn) dapat pula dilakukan dengan menggunakan pola atau analogi, misalnya secara tanya jawab kita mengerjakan soal bentuk perkalian seperti berikut.

4x3 =12

4x2=8

4x1=4

4x0=0

4x(-1)= (-4)

4x(-2)=(-8)

4x-3=(-12)

Dengan melalui dialog, kita dapat mengarahkan pengakali 4, yaitu mulai dari 3 turun satu-satu , sedangkan hasilnya turun empat-empat . karena pengkali dari nol turun menjadi -1 ( dari bari ke empat ke baris ke lima ) maka hasilnya pun turun dari 0 ke -4 dan seterusnya. Kesimpulan kita tentang dsikusi ini ; ax(-b), atau –(axb) atau bilangan positif x bilangan negatif hasilnya adalah bilangan nrgatif.

Selanjutnya untuk melatih keterampilan perkalian (pxn) dapat diberikan variasi soal seperti berikut sebagai bahan diskusi atau latihan (pekerjaan rumah) misalnya 4x6 =, 4x-6 =, 5x=40 dan 5x= -40 .

Perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif (nxp) untuk memperjelas pemahaman perkalian (nxp) dengan cara penjumlahan berulang dan peragaan garis bilangan mengalami banyak kesulitan. Namum demikian kita bisa menjelaskan nya  dengan menggunakan pola atau analogi melalui tanya jawab atau dsikusi , misalnya diberikan contoh seperti berikut;

Berkurang 1 3x3 =9 berkurang 3

 Berkurang 1 2x3 =6 berkurang 3

Berkurang 1 1x3 =3 berkurang 3

Berkurang 1 0x3 =0 tentu hasinya berkurang 3 juga, dan seterusnya

-1x3=.......(-3)

-2x3=.......(-6)

-3x3=.......(-9)

Dari data di atas dapat dilakukan diskusi, bahwa bilangan yang dikalikan dari 3 turun satu-satu sedangkan hasil kalinya turun tiga-tiga, karena perkalian nya dari 0 turun satu menjadi -1 maka hasil kalinya dari 0 turun ke ke -3, dan seterusnya. Kesimpulan dari diskusi ini –axb = -(axb) yaitu bilangan negatif kali bilangan positif hasilnya adalah bilangan negatif.

Selanjutnya dari 3(pxn) dan (4) (nxp) dapat disimpulkan bahwa ax-b = -axb =-(axb)

d.perkalian bilangan bulat negatif kali bilangan negatif(nxn)

dalam pembelajaraan perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif (nxn) dapat pula dilakukan dengan menggunakan analogi atau pola. Dengan melalui tanya jawab, siswa di ajak untuk melengkapi pola perkalian berikut ini.

3x(-5) =(-15)                     (-5x3)= -15     

2x(-5)=(-10)                      (-5x2)=(-10)

1x(-5)=(-5)                        (-5x1)=(-5)

0x(-5)=(0)                          (5x0)=0          

(-1) x(-5)=5                       (-5)x-1)= 5      

(-2)x(-5)=10                      (-5x-2)=10

(-3)x(-5)=15                      (-5x-3)=15

Seperti hal nya perkalian (pxn) dan (nxp) , siswa di minta mengamati kedua bentuk pola perkalian di papan tulis atau pada kertas karton yang telah disiapkan seprti di atas. Siswa di minta mengisi hasil-hasil perkalian tersebut.

Apakah yang terjadi pada hasil-hasil perkalian disebelah kiri dan sebelah kanan ?

4. Operasi Pembagian

Untuk pembelajaran pembagian pada bilangan bulat dikhususkan pada pembagian yang memuat bilangan negative . Pembagian bilangan bulat positif oleh bilangan bulat positif pembahasannya telah dilakukan pada kegiatan sebelumnya . Khusus dalam pembagian yang memuat bilangan negative , pada umumnya sukar diperagakan . Alternatif pembelajarannya dibantu oleh perkalian dengan sifat pertukaran . Misalnya kegiatan tanya jawab dan bimbingan guru seperti berikut ini .

Sebagaimana kita ketahui dalam perkalian dan pembagian bilangan – bilangan cacah bahwa perkalian 4 × 3 = 12 dalam pembagian dapat dinyatakan dalam bentuk 12 : 4 = 3 atau 12: 3 = 4 dan sebaliknya . Bertitik tolak dari pengetahuan prasyarat sebagai apersepsi ini , kita kembangkan dalam bentuk tanya jawab seperti berikut .

Karena 2 × 3 = 6                     maka 6 : 2 = 3                        atau 6 : 3 = 2

            2 × ( -3 ) = -6                          -6 : 2 = -3                             -6 : 3 = -2

            -2 × 3 = -6                               -6 : -2 = 3                           -6 : 3 = -2

            -2 × -3 = 6                   6 : -2 = -3                            6 : -3 = -2

Karena . × Δ = -15      maka -15 : 3 = Δ          atau -15 : 5 = .

            . × Δ = -15                  - 15 : 5 = Δ                 -15 : 3 = .

            . × Δ = 15                   - 15 : -3 = Δ                  15 : -5 = .

               . × Δ = 15                - 15 : -5 = Δ                  15 : -3 = .

Dengan mengajak para siswa berdiskusi , untuk mengisi perkalian seperti di atas siswa terus dibimbingan dan diarahkan pada bentuk pembagiannya . Selanjutnya untuk memperkuat pemahaman siswa tentang keterkaitan pembagian dengan perkalian , dapat diberikan alternative variasa soal seperti atas untuk bilangan – bilangan lainnya .

Ketika melakukan pembagian ini , ada kasus istimewa yang perlu kita ketahui dan harus disampaikan dan pembelajarannya kepada para siswa , yaitu tentang pembagian bilangan bulat oleh nol .

Melalui tanya jawab dengan contoh – contoh melakukan pembagian dengan nol , guru beserta para siswa pada kesimpulannya . Misal kegiatannya seperti berikut .

a.       Berapakah 15 : 0 ?

Misalkan 15 : 0 = n maka n × 0 = 15  atau 0 × n = 15

Apakah ada harga n yang apabila dikalikan dengan 0 menghasilkan 15 ?

Ternyata tidak ada harga n yang apabila dikalikan dengan 0 menghasilkan 15 .

Kegiatan yang sama dapat diulang lagi dengan membagi bilangan – bilangan lainnya oleh nol , misalnya –30 : 0 , 24 : 0, -27 : 0 , dan sebagainya . Kegiatan selanjutnya siswa diajak berdialog tentan pembagian 0 oleh 0 , seperti berikut .

b.      Berapakah 0 : 0 ?

Misalkan 0 : 0 = a maka a × 0 = 0 atau 0 × a = 0

Apakah adaharga a yang jika dikalikan dengan 0 menghasilkan 0 ?

Ternyata banyak sekali penggantian a jika dikalikan dengan 0 menghasilkan 0 .

Dari contoh – contoh diskusi diatas , guru bersama para siswa menyimpulkan , bahwa pada 15 : 0 = n dan umumnya pada pembagian bilangan bulat selain nol oleh 0 hasilnya tidak ada tetapi pada 0 : 0 = a diperoleh banyak harga a yang memenuhi . Berdasarkan kenyataan ini maka disepakati atau didefinisikan bahwa pembagian bilangan termasuk bilangan bulat oleh nol tidak mempunyai arti atau tidak didefinisikan .

B.  SIFAT – SIFAT OPERASI HITUNG

1. Sifat – sifat Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

a. Sifat tertutup

Sifat tertutup untuk operasi penjumlahan maupun pengurangan ditemukan oleh para siswa dengan bimbingan guru . Misalnya kita ambil beberapa pasangan bilangan bulat ,  kemudian kita jumlahkan , dan tanyakan hasilnya , apakah setiap dua bilangan bulat jumlahnya merupakan bilangan bulat juga ? Ambil 6 dan -2 adalah dua buah bilangan bulat , kemudian 6 + (-2) =4 dengan bilangan 4 bulat juga . -9 bilangan bulat , -6 bilangan bulat dan -9 + (-6) = -15 adalah bilangan bulat juga dan seterusnya . Apakah ada bilangan bulat yang dijumlahkan hasilkan bukan bilangan bulat ? Ternyata tidak ada . Dengan bimbingan dan pengarahan dari guru , para siswa dapat menyimpulkan bahwa jumlah dua bilangan bulat adalah bilangan bulat juga . Keberlakuan aturan semacam ini dalam matematika dinamakan aturan tertutup atau sifat tertutup . Dengan kata lain bahwa penjumlahan dalam bilangan bulat memenuhi sifat tertutup .

b. Sifat pertukaran

Akan diperhatikan bahwa dengan operasi penjumlahan untuk setiap bilangan bulat a dan b berlaku a + b = b + a . Misalnya beberapa orang siswa diminta untuk memilih dua buah bilangan bulat , kemudian dijumlahkan , disebutkan hasilnya , kemudian diminta untuk ditukar pasangannya , disebutkan lagi hasilnya . Apakah hasilnya sama atau tidak ? Kemudian siswa lainnya disuruh lagi ke depan , dan dimita untuk mengerjakn  seperti yang telah disuruh lagi ke depan , dan minta untuk mengerjakan seperti yang telah dilakukan oleh temannya tadi. Misalnya seperti berikut ini .

8 +2 = 10 dan 2 + 8 = 10

3 + (-9) = -6 dan -9 +3 + -6

-2 + 7 = 5 dan 7 + (-2) = 5

-5 + (4) = -9 dan -4 + (-5) = -9 , dan sebagainya .

Dikarenakan penjumlahan dua bilangan bulat dapat dipertukarkan maka penjumlahan pada bilangan bulat memenuhi sifat pertukaran ( sifat komutatif ) .

Selanjutya untuk lebih meyakinnkan atau untuk memperkuat ingatan pemahaman para siswa tentang berlakunya sifat pertukaran pada operasi penjumlahan bilangan bulat , maka kita lakukan peragaan dengan menggunakan garis bilangan . Misalkan kita gambar di papan tulis dengan kapur yang bewarna atau dengan spidol yang bewarna pada kertas karton yang sudah disiapkan dalam bentuk penjumlahan seperti berikut ini (gambar 3.29 )

Sebagai topic diskusi untuk pemecahan masalah dapat saja kita ajukan pertanyaan : apakah operasi pengurangan dalam bilangan bulat memenuhi sifat pertukaran ? ( Apakah sifat pertukaran dan operasi pengurangan berlaku pada bilangan bulat ? ) . Hal ini semacam ini dapat diangkat sebagai permasalahan bagi para siswa , mengingat pengetahuan prasyaratnya telah mereka miliki , seperti konsep bilangan bulat dan konsep operasi pengurangan . Para siswa dapat memeriksanya sendiri dan kita hanyalah mengarahkannya sampai menyimpulkan secara bersama bahwa ternyata tidak berlaku .

c. Sifat pengelompokan

Kita akan memperlihatkan bahwa dengan operasi penjumlahan untuk setiap a, b , dan c bilangan – bilangan bulat berlaku ( a + b ) + c = a + ( b + c ) .

Alternatif pembelajaran dapat ditempuh seperti pada kegiatan (1) dan (2) diatas tadi . Misalnya pada salah satu kelompok atau salah seorang siswa diminta untuk memeriksa kebeneran , apakah

( 9+(-5)) + (-2) = 9+ ((-5) + (-2)) ?

Ruas kiri : (9+(-5)) + (-2)                                            Ruas kanan : 9 + ((-5)) + (-2))

                  = 4 + (-2)                                                                           = 9+(-7)

                  = 2                                                                                     = 2

Jadi : ( 9+(-5)) + (-2) = 9+((-5)+(-2))

Kelompok – kelompok lain atau siswa – siswa lainnya diminta pula memeriksa kebenaran bahwa setiap 3 bilangan bulat jumlahnya tidak berubah , apakah bilangan pertama dengan bilangan kedua atau bilangan kedua dengan bilangan ke tiga dijumlahkan terlebih dahulu . Karena itulah maka kebeneran yang seperti itulah dalam matematika dinamakan sifat pertukaran ( sifat asosiatif ) .

Sebagai usaha kita untuk memperkuat pemahaman siswa hendaknya diberikan beberapa contoh yang bervariasi dan beberapa variasi soal .

Untuk topic diskusinya dapat pula kita tanyakan pada siswa tentang sifat pengelompokan dalam bilangan bulat untuk operasi pengurangan . Dengan melihat beberapa contoh yang bervariasi , ternyata operasi pengurangan dalam bilangan bulat tidak memenuhi sifat pengelompokan . Silakan dicoba ! Kemudian kita berikan beberapa soal menyangkut operasi penjumlahan , pengurangan , dan sifat pengelompokan , misalnya

Apakah (2-3)+5=2-(3+5) ? Jelaskan !

Apakah (8+2) – 7= 8+(2-7) ? Jelaskan !

Apakah (6-2)-1 = 6-(2-1)?Jelaskan !dan sebagainya .

d. Sifat bilangan nol

untuk menjelaskan konsep dari sifat bilangan 0, dapat dilakukan dengan menjumlahkan sembarang bilangan dengan 0 . Misalnya 5+0=□, -2 + 0 =□, bulat dapat ditambah dengan nol sama dengan dirinya sendiri . Hal ini dapat pula diperlihatkan dengan garis bilangan . Melalui pengertian tersebut kita telah menjelaskan sifat bilangan nol dalam operasi penjumlahan . Nol merupakan usur satuan ( identitas ) dalam bilangan bulat untuk operasi penjumlahan .

2. Sifat – sifat Perkalian

a. Sifat tertutup

Pembelajara pemahaman sifat ini seperti halnya dalam operasi penjumlahan diatas .Salah seorang siswa diminta untuk memilih sembarang dua bilangan bulat , kemudian mengalikannya , dan menyebutkan hasil kalinya . Apakah setiap hasil kali dari dua bilangan bulat merupakan bilangan bulat juga ? Kemudian coba lagi kepada beberapa siswa lainnya . Misalnya 4 dan -2 adalah bilangan bulat dan 4×(-2) = -8 dengan -8 adalah bilangan bulat juga . Demikian pula (-3) ×(-5) = 15 dengan 9-3) , (-5) dan 15 adalah bilangan – bilangan bulat .

Melalui contoh , latihan , tanya jawab , dan bimbingan dari guru seperti di atas tadi , ternyata bahwa hasil kali dari bilangan – bilangan bulat adalah bilangan bulat juga , dengan kata lain bahwa perkalian tertutup pada bilangan bulat .

b. Sifat pertukaran

Kita sudah mengetahui bahwa untuk setiap 2 bilangan hasil kalinya juga merupakan bilangan bulat . Kemudian berdasarkan pada pengetahuan sebelumnya , yaitu tentang perkalian bilangan – bilangan bulat kita ajukan beberapa pertanyan dan memberikan contoh – contohnya , misalnya

2×3 =3×2                     sebab 2×3 =□              dan 3×2=□

3×(-4) = -4 ×3              sebab 3×(-4) = □         dan (-4)×3=□

(-2)×5 = 5×(-2)            sebab (2)×5 = □           dan 5×(-2) = □

(-5)×(-3) = (-3)×(-5)     sebab (-5)×(-3)=□        dan (-3) ×(-5)=□

Dengan memperhatikan contoh – contoh dan tanya jawab dalam menyelesaikan soal – soal diatas , ternyata bahwa perkalian pada bilangan bulat memenuhi sifat pertukaran .

c. Sifat pengelompokan

kita sudah mengetahui berlakunya sifat pengelompokan pada operasi penjumlahan  dan sekarang kita akan memeriksanya pada operasi perkalian . Melalui diskusi dan bimbingan dari guru para siswa dibentuk dalam beberpaa kelompok , kemudian diminta untuk mencari hasil perkalian dari ruas kiri dan ruas kana serta membandingkannya . Misalnya :

1). Periksalah apakah hasil perkalian di sebelah kiri ( ruas kiri ) sama dengan disebelah

kanan ( ruas kanan ) ?

3×((-2)×4) =(3×(-2))×4

Ruas kiri : 3×(-2))×4) = 3×(-8)=24

Ruas kanan : (3×(-2))×4 = -6×4=-24

Ternyata ruas kiri = ruas kanan = -24

Jadi , 3×((-2)×4) = (3×(-2)×4 .

Periksa lagi hasil –hasil perkalian di ruas kiri dengan di ruas kanan untuk variasi – variasi berikut ini

Apakah 5×(2×3) = (5×2)×(-3) ?

Apakah (-7)×(-2×3) = ((-7)×(-2))×3 ? dan seterusnya .

2) Ternyata setiap kita mengambil sembarang tiga bilangan bukat lainnya hasilnya selalu

sama . Hal ini menunjukan  bahwa sifat pengelompokan perkalian pada bilangan bulat

berlaku . Dengan kata lain operasi perkalian pada bilangan bulat memenuhi sifat

pengelompokan .

d. Sifat sembarang

Pada pembelajaran pemahaman sifat penyebaran perkalian terhadap penjumlahan dapat dilakukan seperti halnya pembelajaran pada sifat pengelompokan di atas misalnya :

1). Apakah :3×((-2)+4) =(3×(-2)) + (3×4)?

            Ruas kiri :3×((-2)+4) =3×2=6

            Ruas kanan : (3×(-2)) + (3×4)=6+12 =6

             Ruas kiri = ruas kanan = -2

            Jadi , 3×((-2)+4)=(3×(-2)) + (3×4) .

2). Dengan memeriksa untuk beberapa contoh lainnya sebagai latihan dapat disimpulkan

bahwa sifat penyebaran perkalian terhadap penjumlahan pada bilanagan bulat berlaku

 Untuk lebih memahami sifat penyebaran dalam perkalian , berikanlah beberapa

variasi soal latihan .

e. Sifat bilangan satu dan nol

Melalui tanya jawab dengan bekal pengetahuan sebelumnnya , para siswa diajak untuk menjawab beberapa pertanyaan dari guru , kemudian dengan bimbingan dan arahan dari guru ditentukan kesimpilannya .

Misalnya :

2×1 =□ (2)                   9×0=□ (0)

-3×1 =□ (3)                 -7×0=□ (0)

10 ×1=□ (10)               1×0 = □ (0)

-9 ×1 = □ (-9)                0×0 = □ (0)

Dan sebagainya

Ternyata bahwa setiap bilagan bulat dikalikan dengan hasilnya sama dengan bilangan bulat itu sendiri , dan setiap bilangan bulat dikalikan dengan nol hasilnya adalah nol . Sebagai penguatan , para siswa diminta untuk mencoba dengan bilangan – bilangan lainnya .

C. PEMBULATAN BILANGAN BULAT DALAM SATUAN , PULUHAN ATAU RATUSAN TERDEKAT .

Perlu pula kita ketahui bahwa untuk keperluan perhitungan , analisis atau laporan , pencatatan ( data kuantatif ) dalam bentuk yang lebih sederhana . Karena itulah bilangan – bilangan bulat tertentu disederhanakan atau dibulatkan . Untuk keperluan pembulatan ini ada beberapa aturan yang sudah baku digunakakn oleh para matematikawan atau oleh mereka yang menggunakan matematika .

Adapun beberapa aturan yang bisa digunakan dalam pembulatan bilagan adalahsebagai berikut .

Aturan 1.Jika angka terkiri yang harus dihilangkan adalah 4 atau kurang dari 4 maka angka terkanan dari yang mendahuluinya tidak berubah .

Melalui pemberian contoh , dalam pembelajaran dengan diskusi , guru bersama – sama siswa dapat mencoba mengerjakan beberapa soal sampai pada kesimpulan berlakunya aturan tersebut .

Contoh 1

Bilangan 1437 bilangan  dibulatkan hinga ratusan terdekat menjadi 1400 . Angka yang harus dihilangkan ialah mulai dari 3 ke kanan dan ini merupakan angka terkiri . Angka terkana yang mendahului 3 , ialah angka 4 , haruslah tetap .

Mengapa angka yang harus dihilangkan mulai dari angka 3 ?jelaskan bahwa bilangan 1437 akan dibulatkan hingga ratusan terdekat dan angka 3 sebelah angka ratusan lebih kecil dari angka 4 .

Contoh 2

Rp 1.745,00 dibuatkan hingga ratusan terdekat menjadi Rp. 1.700,00 . Megapa angka yang harus dihilangkan mulai dari angka 4 ?

Contoh 3

a. Bilangan 131 dibultkan hingga puluhan terdekat menjadi 130 .

b. Bilangan 52 dibulatkan hingga puluhan terdekat menjadi 50

c. Bilangan 7,45 dibulatkan hingga satuan terdekat menjadi 7

d. Bilangan 9,09 dibulatkan hingga satuan terdekat menjadi 9

Aturan 2 . Jika angka terkiri dari yang harus dihilangkan lebih dari 5 atau 5 diikuti oleh angka bukan nol maka angka terkanan dari yang mendahuluinya bertambah dengan satu .

Contoh 4 .

a. Bilangan 653 dibulatkan hingga ratusan terdekat menjadi 700 . ( Angka yang harus Mdihilangkan adalah 53 dengan angka terkiri 5 yang diikuti angka 3 bukan angka 0 ).

b. Bilangan 694 dibulatkan hingga ratusa terdekat menjadi 700 , sebab angka yanh harus dihilangkan 94 dengan angka terkiri adalah 9 yang jelas lebih besat dari angka 5 .

c. Bilangan 66 dibulatkanhingga puluhan terdekat menjadi 70 , Apa sebabnya ? Jelaskan !

d. Bilangan 6,55 dibulatkan hingga satuan terdekat menjadi 7 , sedangkan bilangan 4,59 dibulatkan ke satuan terdekat menjadi 5 , Mengapa ? Jelaskan !

Melalui diskusi kelas dengan pemberian beberapa contoh disertai bimbigan guru diharapkan para siswa dapat menyimpulkan aran pembulatan yang kedua seperti diatas . Sekarang kita perhatikan beberapa contoh yang termuat dalam contoh termuat dalam contoh 5 berikut ini .

Contoh 5

a.    Bilangan 6,5 atau 6,500 dibulatkan hingga satuan menjadi 6 . Disini angka yang dihilangkan adalah 5 dan 500 , sedangkan yang mendahului adalah angka 6 yaitu angka yang genap sehingga tetap .

b.    Bilangan 17,5 dan 17,50 dibulatkan hingga satuan terdekat 18 . Ini disebabkan angka yang mendahului 5 atau 50 merupakan bilangan ganjil yaitu angka 7 sehingga harus ditambah satu .

dari contoh 5 ini dapat kita tarik kesimpulan aturan yang ketiga , yaitu sebagai berikut :

Aturan 3. Jika angka terkini dari yang harus dihilangkan hanya angka 5 atau angka 5 yang diikuti oleh angka – angka nol belaka maka angka terkanan yang mendahuluinya tetap jika ia genap , dan tambah satu jika ia ganjil .

Contoh 6 .

1. Bilangan 685 dibulatkan hingga puluhan terdekat menjadi 680.

2. Bilangan 675 dibulatkan hingga puluhan terdekat menjadi 680.

3. Bilangan 2750 dibulatkan hingga ratusan terdekat menjadi 2800.

4. Bilangan 2650 dibulatkan hingga ratusan terdekat menjadi 2600.

Coba Anda diskusikan untuk merumuskan pembelajaran sehingga didapatkan ketiga aturan pembulatan tersebut . Salah satu alternative pembelajarannya dapat dilakukan melalui diskusi kelompok dan simulasi kelas . Selamat mencoba .

D.  ANALISIS KESALAHAN KONSEP PEMBELAJARAN OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT

Masih banyak kita jumpai kesalahan dalam mengucapkan bilangan negative  dengan operasi kurang ( operasi minus / operasi min ). Konsep bilagan negative dan konsep operasi minus ( operasi kurang ) adalah dua konsep yang sangat berbeda , walaupun notasinya sama .

Perlu kita perhatikan , bahwa sebenarnya ada perbedaa antara tanda bilangan negative dengan tanda pengerjaan ( operasi hitung ) kurang . Ada perbedaan antara (-) pada  (negative 5 ) dengan tanda (-) pada- 5 ( kurang lima). Bilanagan bulat negative Sembilan semestinya ditulis  . Mengingat factor kesulitan pada percetakan ( pengetikan ) maka penulisan  dan -5 kedua – duanya ditulis sama yaitu -5 . Namun demikian tetap kita harus menanamkan perbedaan konsep antara (-) sebagai tanda bilangan negative dengan tanda operasi hitung kurang .

Sebagaimana tadi bahwa negative lima (-5) hendakya dibedakan dengan tanda (-) pada pengerjaan hitung 9-5 ( Sembilan kurang lima ) . Tanda (-) pada pengertian yang pertama , yaitu -5 menunjukkan bilangan bulat negative bahwa kedudukan bilangan -5 pada suatu garis bilangan berada d sebelah kiri titik pangkal nol (0) , dan disebut dengan bilangan negative lima. Sedangkan tanda (-) pada bentuk 9-5 menunjukkan pengertian operasi kurang (operasi minus / min ) bilangan 9 dengan bilangan 5.

1. 9-5 dibaca: “ Sembilan kurang kima atau Sembilan min 5 “

2 -9-5 dibaca :” negative Sembilan kurang 5 “ bukan min Sembilan kurang lima “

3. 9-(-5) dibaca :” sembilang dikurang negative lima : bukan : Sembilan kurang min 5 “

4. -9 – (-5) dibaca :” negative Sembilan kurang negative lima “ , bukan dibaca “ min Sembilan kurang min 5 “

Berdasarkan pengertian tersebut maka ucapan ( bacaan ) negative dua puluhan Sembilan haruslah ditulis -29 dan ucapan negative seratus dua puluh lima lambangnya bilangan adalah -125 . Sebaliknya lambang bilangan -279 dibaca atau diucapkannya adalah negative dua ratus tujuh puluh Sembilan .

Masih berdasarkan pengertian tersebut diatas yang sebenernya dari awal tadi pun telah kita bicarakan bahwa penulisan lambang bilanagan diberikan tanda (+) atau tidak keduanya menunjukkan pada bilangan yang sama , yaitu sebagai bilangan positif untuk menyatakan bilangan positif lima (+5) umumnya cukup dibaca ( diucapkan ) lima (5) , begitu pula positif Sembilan (+9) cukup dibaca Sembilan (9) . Tanda (+) akan dipakai untuk menyatakan operasi ( pengerjaan ) hitung penjumlahan atau penambahan dari dua bilangan , misalnya 5+9 ( lima ditambah 9 ) atau 9 +(-5) ( Sembilan ditambah negative lima ).

A.    PERPANGKATAN DAN PENARIKAN AKAR PADA BILANGAN BULAT

1.      Perpangkatan

Setelah siswa memahami konsep bilangan bulat beserta operasinya, tiba saatnbagi kita untuk menyajikan konsep perpangkatan pada bilangan bulat.Sebelum kita melkukan pembelajaran perpangkatan pada bilangan bulat, terlebih dahulu kita mengingatkan konsep operasi penjumlahan dan perkalian baik pada bilangan cacah (Modul 2) maupun pada bilangan bulat (Modul 3).

Tentunya telah kita jelaskan pada bagian terdahulu bahwa perkalian merupakan penjumlahan berulang. Misalnya “ Pak Ahmad mempunyai dua dos kapur tulis yang masing-masing berisi 5 batang. Berapa batang kapur tulis yang dimiliki oleh Pak Ahmad?Dari sini jelas, bahwa banyaknya kapur tulis yang dimiliki oleh Pak Ahmad itu 2 x 5= 10 batang.

Sekarang kita perhatikan perkalian yang berulang atau perkalian berganda, misalnya:

2 x 2 x 2 x 2 x 2

Perkalian berulang, artinya perkalian yang dilakukan secara berulang-ulang dengan faktor-faktor yang sama. Dalam contoh ini terdapat 5 faktor yang sama yaitu bilangan 2. Perkalian berulang tersebut dapat pula disajikan dalam bentuk bilangan berpangkat (perpangkatan), yaitu:

2 x 2 x 2 x 2 x 2=

            dibaca “dua dipangkatkan lima” atau disingkat “dua pangkat lima”.

            2 disebut bilangan pokok atau bilangan yang dipangkatkan, dan

            5 disebut pangkat atau eksponen.

Dari sini dapat kita simpulkan bahwa jika suatu perkalian berulang mempunyai b faktor dan faktornya sama yaitu a maka bentuk perkaliannya dapat ditulis sebagai berikut.

a x a x a x….x a=

Secara umum kita peroleh definisi  (perjanjian atau kesepakatan) untuk perpangkatan, yaitu:

adalah perkalian berulang yang mempunyai b faktor dan tiap-tiap faktornya sama dengan a.

Bentuk perpangkatan ini banyak digunakan untuk menyingkat cara menulis bilangan-bilangan besar, misalnya:

1000 = seribu =

1000.000= satu juta =

1000.000.000= satu milyar =

1000.000.000.000 = satu triliyun =  dan sebagainya.

2. Sifat-sifat Perpangkatan

Setelah kita memahami pengertian perpangkatan perlu dilanjutkan untuk memahami beberapa sifat atau aturan tentang perpangkatan.Bahasa ini dapat kita berikan melalui diskusi dengan bimbingan guru dengan selalu memperhatikan pengetahuan pasyarat, yaitu tentang operasi hitung dan sifat-sifatnya pada bilangan cacah dan bilangan bulat.Alternatif pembelajaran sifat-sifat bilangan berpangkat ini dapat diberikan melalui induktif atau deduktif atau kombinasi dari keduanya.

a.       Sifat perkalian bilangan berpangkat

Aturan umum untuk perkalian perpangkatan dengan bilangan pokok yang sama dapat diturunkan dengan cara menuliskan perkaliannya secara lengkap. Sebagai contoh kita diskusikan hal berikut.

 x = (a x a ) x (a x a x a)

 = a x a x a x a x a

=

 x  = a x a x a x………………x a x a x a x a……x a

               =

                =

Bentuk  x  =  adalah salah satu sifat dari perpangkatan dan sebenarnya kita telah membuktikan kebenaran ini dengan bantuan perpangakatan. Jadi, penulisan bilangan-bilangan berpangkat dengan bilangan pokok yang sama diperoleh dengan menjumlahkan eksponen-eksponennya. Jika a, m, dan n tiga buah bilangan bulat positif maka berlaku:

x =

b.      Sifat pembagian bilangan berpangkat

Sekarang kita tinjau pembagian dengan bilangan pokok yang sama misalnya:

       :  = (3 x 3 x 3 x 3 x 3):(3 x 3 x 3)

                  = (3 x 3)(3 x 3 x 3):(3 x 3 x 3)

                  = (3 x 3) x 1

                  =

Dengan menggunakan garis bagi dan proses “penghapusan” tentu saja kita dapat mendiskusikannya, bahwa:

            :  =

: =  dan sebagainya

     Secara umum, pembagian dua bilangan berpangkat dengan bilangan pokok yang sama diperoleh dengan cara mengurangkan eksponen pembagi dari eksponen bilangan yang dibagi, yaitu:

 :  =

Setelah melakukan pembelajaran diatas dapat pula mendiskusikan beberapa contoh berikut ini.

            Contoh

1)       x

2)       : y

Kerap kali sebuah perkalian atau pembagian terdiri dari hasil kali perpangkatan dari bilangan-bilangan yang berlainan seperti contoh diatas.Dalam hal ini kita dapat mendiskusikannya dengan bantuan sifat komutatif untuk perkalian, yaitu sebagai berikut.

1)       x  =  x  x  x  =

2)       : y = =  x =

y     y

c.       Sifat distributif perpangkatan terhadap perkalian

x

Untuk membuktikan sifat tersebut dapat digunakan definisi perpangkatan, yaitu seperti berikut.

( a x b ) x ( a x b ) x ( a x b ) x……x ( a x b )

                                         = ( a x a x ax……x a)(b x b x bx…x b)

                                         =  x

d.      Sifat distributif perpangkatan terhadap pembagian

Seperti halnya sifat distributif perpangkatan terhadap perkalian, sifat yang keempat ini dapat dibuktikan dengan bantuan definisi perpangkatan, yaitu:

= ( a: b ) x ( a : b ) x ( a : b )x….x ( a : b )

                    = ( a x a x ax……… : x a) : ( b x b x b… x b)

Jadi, = :

3.      Penarikan Akar

           Dalam bahasan modul 2 tentang bilangan cacah kita telah mendiskusikan bagaimana langkah-langkah cara penarikan akar dari suatu bilangan cacah. Bahasan ini tentu saja terkait erat dengan bahasan kita sekkarang ini, yaitu penarikan akar bilangan bulat.

           Penarikan akar pada bilangan bulat hanya dilakukan pada bilangan bulat positif. Hal ini berarti sama saja dengan penarikan akar pada bilangan cacah yang telah didiskusikan secara panjang lebar pada modul kedua. Oleh karena itu teori yang sangat khusus yang berkaitan dengan penarikan akar dapat kita pelajari kembali pada penarikan bilangan cacah dan pembelajarannya.

           Khusus dalam bahasan sekarang ini, akan didiskusikan kembali pembelajaran penarikan akar terkait dengan perpangakatan pada bilangan bulat. Agar lebih jelas kita dapat meminta para siswa untuk memperhatikan pasangan-pasangan bilangan misalnya 4 dan 2, pasangan 9 dan 3, pasangan 16 dan 4, sebagai relasi “kuadrat dari” yaitu:

            4 adalah kuadrat dari 2

            9 adalah kuadrat dari 3

            16 adalah kuadrat dari 4

Yang pada perpangkatan dapat ditulis dalam bentuk pangkat dua (kuadrat), yaitu:

            4 =

            9  =

            16 =

           Sebaliknya, jika pada pasangan-pasangan diatas tadi dimulainya dengan yang kedua maka relasi terhadap bilangan yang pertama menjadi “akar pangkat dua” yang dapat kita tulis sebagai berikut.

            2 adalah akar pangkat dua dari 4

            3 adalah akar pangkat dua dari 9

            4 adalah akar pangkat dua dari 16

           Jadi, proses mencari akar pangkat dua adalah operasi invers dari proses mencari kuadrat atau dengan istilah yang sudah umum dapat kita nyatakan dengan kalimat:

Penarikan akar adalah invers dari perpangkatan

           Setelah siswa memahami konsep penarikan akar sebagai invers dari perpangkatan dengan mendiskusikan kembali bahwa penarikan akar dari sebuah bilangan adalah mencari sebuah bilangan lain yang kuadratnya sama dengan bilangan semula, misalnya:

                        Akar dari 25 ialah mencari bilangan yang kuadratnya sama dengan 25

                        Akar dari 36 ialah mencari bilangan yang kuadratnya sama dengan 36

                        Akar dari 49 ialah mencari bilangan yang kuadratnya sama dengan 49

           Lambang untuk relasi akar (akar pangkat dua) adalah “ ” yang berlaku secara universal sehingga secara singkat notasi penarikan akar pada contoh-contoh di atas dapat ditulis dalam bentuk:

             = 5, sebab  = 25

                          = 6, sebab  = 36

                          = 5, sebab  = 49

                       Secara umum dapat kita tulis:

 = b, sebab  = a

           Diskusi pembelajaran selanjutnya dapat dilakukan melalui pemahaman bahwa penarikan akar dari sebuah bilangan dapat dipandang sebagai pemfaktoran bilangan itu atas faktor-faktor yang sama, misalnya:

             =  = 4

              =   = 5

           Dalam hal ini jelas bahwa pangkat akarnya menunjukan banyaknya faktor yang sama. Pangkat akar ini dapat saja ditingkatkan lebih lanjut, misalnya:

              = adalah bilangan yang bila dipangkatkan 3 sama dengan 8

             = adalah bilangan yang bila dipangkatkan 3 sama dengan 27

Hal ini berarti:

               = 2, sebab  = 8

             = 3, sebab  = 27

            Secara umum kita dapat menuliskan lambang penarikan akar hubungannya dengan perpangkatan sebagai berikut.

 = b, sebab = a

4. Kesalahan Konsep dalam Perpangkatan dan Penarikan Akar

Perlu pula kita ketahui bahwa pada kalanya terjadi kesalahan konsep yang di lakaukan oleh siswa dalam pemblajaran pemangkatan maupun penarikan akar. Beberapa kesalahan yang sering terjadi diantaranya :

1. Masih ada siswa yang belum memahami konsep perpangkatan, diantaranya masih ada siswa yang melakukan perkalian antara bilangan pokok dengan pangkatnya (eksponennya), misal 2³ = 2x3, 3³=3x3 ³, 5⁴=5x4, dsb. Namun, untuk perpangkatan kuadrat mereka memberikan jawaban yang benar, misalnya 2²=2x2, 3²=3x3 dan 5²=5x5.
2. Dalam melakukan perkalian bilangan berpangkat dengan bilangan pokok yang sama sering pula terjadi dilakukan dengan mengalikan pangkatnya, misalnya 2³x2²=2³  ͯ², 5²x5³=5²  ͯ³ .
3. Kesalahan yang paling sering terjadi, yaitu pada pembagian pembilangan berpangkat oleh bilangan pokok yang sama dilakukan dengan cara membagi pangkatnya, bukan dengan cara mengurangkan pengkat yang di bagi oleh pangkat pembagi , misalnya 2⁶ : 2² = 2⁶˸² dan 6⁸:6⁴=6⁸˸⁴ .
4. Masih pula terjadi kekeliruan dalam menentukan hasil sebuah bilangan berpangkat dibagi oleh bilangan berpangkat yang pangkatnya lebih besar, sehingga menghasilkan bilangan negatif, walaupun prosesnya sesudah benar, misalnya : 

2³:2⁵=2³⁻⁵= 2⁻²= -4

3²:3⁵=3²⁻⁵=3⁻³=-27

            Mereka beranggapan bahwa tanda negatif dari a⁻ⁿ menunjukan a⁻ⁿ bilangan negatif

5. Demikian pula pada penarikan akar masih terjadi beberapa kesalahan konsep, diantaranya mereka sudah memahami bahwa akar pangkat m dari a pangkat n adalah sama dengan a pangkat n di bagi n sehingga memberikan hasil perhitungan yang benar. Namun dalam proses perhitungannya masih ada yang membuat kekeliruan seperti berikut

√81=√3⁴=√3⁴˸²=3²

³√64=³√2⁶=³√2⁶˸³=2²

Dalam hal ini walaupun hasil ahkirnya benar, tetapi pada proses perhitungan telah terjadi kesalahan. Coba anda diskusikan dimana letak kesalahannya ?

6. Hal yang masih sering terjadi kesalahan dalam penarikan akar adalah penarikan akar kuadrat, misalnya √9=±3,√16=±4,√25=±5 ..

Memang kita saudah memahami bahwa sebuah bilangan positif merupakan hasil kali 2 bilangan positif atau 2 bilangan negativ karenanya banyak yang beranggapan bahwa akar pangkat 2 dari sebuah bilangan positif mempunyai 2 kemungkinan nilai, yaitu nilai positif dan nilai negatif, misal:

                        √25=5, sebab 25=5²dan

                        √25=-5, sebab 25=(-5)², jadi

                        √25=±5

Namun demikian dalam penarikan akar dibatasi hanya pada bilangan positif saja, sehingga kita tetapkan sebagai definisi :

Akar pangkat 2 dari bilangan positif adalah nilai yang positif.

B.  Penerapan Bilangan Bulat dalam Masalah Sehari-hari

Sesuai dengan tuntutan kurikulum yang berlaku bahwa dalam pembelajaran matematika di SD (sekolah dasar) guru harus memperlihatkan kaitan kosep matematika dengan permasalahan sehari-hari. Penerapan bilangan bulat pada masalah keseharian dipandang perlu untuk memperlihatkan begaimana proses pemblajaran matematika yang menari, menantang, dan menumbulkan kreativitas pada siswa.

            Soal-soal dalam bentuk cerita inilah salah satu kegiatan pemblajaran pada matematika yang paling memungkinkan mencapai tujuan dan harapan kurikulum tersebut diatas. Namun sebelum kita sampai pada penyelesaian soal-soal cerita yang berkaitan dengan bilangan bulat, terlebih dahulu kita perlumengetahui kilat-kilat dalam menyelesaikan soal-soal cerita sehingga akan membantu pada pelaksanaan pemblajarannya.

Berikut ini merupakan alternatif petunjuk bagamana kita sebagai guru membimbing para siswa untuk memahami soal cerita, secara garis besarnya kegiatan pemblajarannya dapat diurutkan kedalam empat kegiatan pokok berturut-turut, yaitu:

1.      Mengerti Persoalan

Bacalah soal cerita tersebut secara keseluruhan dengan seksama untuk memahami dan mengerti permasalahannya. Untuk itu dengan bantuan dan bimbingan guru para siswa harus mengetahui:

a.       Apa yang diketahui(mencari keterangan yang esensial).

b.      Apa yang di tanyakan(apa yang harus diselesaikan/apa yang akan di tunjukan)

2.      Merencanakan Penyelesaian

Untuk dapat menyelesaikan soal cerita, para siswa harus dapat menemukan hubungan data-data dari yang diketahui dengan yang ditanyakan.Pada konteks ini guru perlu membimbing para siswa untuk memilih konsep-konsep atau pengertian-pengertian yang telah di pelajari oleh para siswa guna dikombinasikan sehingga dapt dimanfaatkan untuk menyelesaikan persoalnya. Langkah-langkah dapat seperti berikut.

a.       Parasiswa mengumpulkan informasi atau data yang sesuai guna menetukan operasi hintung(pengerjaan hitung) yang diperlukan

b.      Membuat model atau kalimat matematikanya, yaitu menjabarkan dari yang diketahui dengan ditanyakan dalam bentuk simbol-simbol matematika. Apabila para siswa mengalami kesulitan maka guru perlu membimbing dan mengarahkannya.

3.      Melaksanakan Penyelesaian

a.       Menyelesaikan soal cerita adalah menyelesaikan kalimat(model) matematika yang telah dibuatnya.

b.      Setiap langkah harus dicek untuk mengetahui kebenarannya sehingga para siswa dapat menghasilkan penyelesaian sendiri. Nyatakan penyelesaian itu dalam bahasa indonesia, sehingga menjawab pertanyaan dari soal certa tersebut. Guru tentunya harus bersabar menanti jika perlu membimbing dan mengarahkannya.

4.      Memeriksa kembali

Penyelesaian yang telah didapat itu harus diperiksa kembali. Pertanyaan-pertanyaan dari dalam diri para siswa perlu ditumbuhkan oleh kita sebagai guru, diantaranya :

a.       Sudah cocokkah hasilnya ?

b.      Apa tidak ada hasil yang lain?

c.       Apakah ada cara lain untuk menyelesaikan persoalan tersebut?

d.      Dengan cara yang berbeda, apakah hasilnya tetap sama?, dan sebagainya.

Demikianlah beberapa petunjuk langkah-langkah yang dapat ditempuholeh guru dalam merencanakan, menyusun, dan melaksanakan pembelajaran yang berkaitan dengan soal-soal cerita dalam matematika di SD. Tahapan langkah-langkah tersebut akan sangat membantu para siswa dalam memahami soal-soal cerita matematika. Namun demikian tentunya kita dapat mengembangkan lebh lanjut disesuaikan dengan lingkungan siswa kita disekolah.

      Untuk lebih jelas lagi kita akan melihat beberapa contoh alternatif pemblajaran soal-soal cerita yang berhubungan dengan bilangan bulat dengan menggunakan tahapan langkah tersebut diatas.

a.       Banyak murid di SD negeri I ada 251 orang dan di SD negri II ada sebanyak 198 orang. Berapakah jumlah murid semua ?

1)      a) yang diketahui : SD negri I 251

            SD negri II 198

                                b) yang ditanyakan : jumlah murid semua.

                        2)     a) operasi hitung : penjumlahan (+)

                                 b) kalimat matematika : 251+198=...

                       

3) penyelesaian : 251

                          198 +

                          449

Jadi , ada sebanyak 449 orang murid.

Pada proses pembelajaran soal cerita diatas pertama-tama guru menuliskan soal cerita tersebut pada papan tulis atau sudah terdapat dalam buku murid , kemudian guru bertanya apa yang diketahuinya , apa yang ditanyakan , operasi apa yang digunakan , bagaimanakah kalimat matematikanya ,sampai dengan penyelesainya. Dalam menjawab setiap pertanyaan yang diajukan oleh guru tersebut , tentunya guru berusaha pula untuk membimbing dan mengarahkannya sehingga semua yang ditanyakannya tadi dapat dijawab dengan benar.

b.      Pada suatu hari sebuah toko alat tulis telah menjual 23 buah buku tulis masing-masing seharga 750 rupiah dan 16 buah buku gambar seharga 500 rupiah tiap buku. Hasil penjualan tersebut dibelikan 101 pensil dengan harga yang sama. Berapakah harga sebuah pensil ?

1)      a) Diketahui : - terjual 23 buku tulis dengan harga jual satuan 750

   - terjual 16 buku gambar dengan harga jual satuan 500

   - hasil penjualan dibelikan 101 pensil dengan harga yang sama

                               b) Ditanyakan : harga sebuah pensil

                        2)    a) operasi hitung : x, : , dan +

                                b) kalimat matematikanya :

                                    (1) harga jual sebuah buku tulis : 750 rupiah

                                    (2) harga jual 23 buah buku tulis : (23x750) rupiah

                                    (3) harga jual sebuah buku gambar : 500 rupiah

                                    (4) harga jual 16 buah buku gambar : (16x500) rupiah

                                    (5) harga penjualan dalam 1 hari sebesar : (23x750+16x500) rupiah

                                    (6) uang ini dibelikan kepada 101 buah pensil

                                    (7) harga sebuah pensil : ( 23x750+16x500):101=n

3) penyelesaian : n = ( 23x750+16x500):101

                              = (17250+8000):101

                              =  25.250:101

                              = 250

Jadi , harga sebuah pensil adalah 250 rupiah.

Dalam menyelesaikan soal diatas hendaknya guru mengingatkan kembali aturan operasi/pengerjaan hitung yang berlaku , yaitu:

1)      operasi penjumlahan dan pengurangan sama kuat

2)      operasi perkalian dan pembagian sama kuat , dan

3)      operasi kali dan pembagian lebih kuat dari pada operasi penjumlahan dan pengurangan.

Sebagai apersepsi dari soal-soal cerita yang ,melibatkan operasi hitung lebih dari satu ,sebaiknya aturan operasi hitung yang berlaku seperti di atas dicek kembali pemahamanya. Misalnya guru terlebih dahulu memberikan soal tentang bilangan bulat yang banyak melibatkan operasi hitung seperti berikut ini.

6086-50x45+73x18:6=n

Jawab :

n= 6086-50x45+73x18:6

  =6086-(50x45)+(73x18):6

  =6086-2250+1314:6

  =6086-2250+ (1314:6)

  =6086-2250+219

  =(6086-2250)+219=3836+219

  =4055.

c.       Pada rentang waktu 2 bulan ( 1 bulan= 30 hari ) dari suatu terminal bisa diberangkatkan 224.280 orang penumpang. Setiap bisa mengangkat 42 orang penumpang. Setiap hari bis yang diberangkatkan sama banyaknya. Berapa banyak bis yang diberangkatkan dari terminal tersebut dalam 1 hari ?

Setelah guru memberikan beberapa contoh seperti diatas (contoh 1 dan contoh 2 ), guru dapat saja bertanya secara lisan kepada para siswa apa-apa saja yang diketahui dan apa saja yang ditanyakan dari soal cerita itu. Guru dapat saja tidak menuliskannya tidak seperti kedua contoh diatas. Setelah para siswa dengan bimbingan guru melalui dialog dapat menentukan yang diketahui dan yang ditanykan, guru menjelaskan atau berdiskusi dengan para siswa untuk memperolehkalimat matematikanya/kalimat bilanganya/model matematikanya,yaitu seperti berikut ini

1)      Selama 2 bulan diberangkatkan : 224.280 orang

2)      Selama 1 hari diberangkatkan : (224.280 : 60 ) orang

3)      Setiap bis mengangkut 42 orang

4)      Banyaknya bis yang diberangkatkan dalam 1 hari : (224.280:60:42) bis

5)      Kalimat matematikanya : 224.280:60:42=n

6)      Kita peroleh :n =(224.280:60):42=3738:42=89.

7)      Jadi,banyaknya bis yang diberangkatkan dari terminal tersebut dalam 1 hari ada 89 buah bis

d.      Ani mempunyai sejumlah permen. Tati memberi 2 buah permen kepada ani , sehingga permen ani sekarang menjadi 9 buah. Berapa banyaknya permen ani semula ?

Setelah ditemukan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan , guru bersama para siswa menyusun model matematikanya seperti berikut.

1)      Ani mempunyai sejumlah permen : n (banyaknya permen yang dimilki ani belum diketahui )

2)      Tati memberikan 2 buah permen kepada ani : n+2(memberi berarti menambah ,yaitu dengan 2)

3)      Ani sekarang memiliki 9 buah permen : n+2=9 ( permen ani semula ditambah dengan permen tati menjadi 9

4)      Kalimat matematikanya : n+2=9

5)      Didapatkan : 7+2=9

6)      Jadi, banyaknya permen ani semula ada sebanyak 7 buah permen.  

e.       Dua orang pedagang bersepakat untuk membagi sama rata keuntungan ataupun kerugian mereka. Pada bulan ke 1 keuntungan sebesar 60.000 rupiah ,dalam bulan ke 2 keuntungan sebesar 20.000 rupiah dan pada bulan ke 3 mereka merugi 95.000 rupiah . bearapakah keuntungan atau kerugian setiap orang selama 3 bulan itu ?

Setelah dapat menentukan mana-mana yang diketahui dan yang ditanyakannya,guru bersma dengan para siswanya menentukan kalimat matematikanya seperti berikut.

1)      Dua orang pedagang bersepakat membagi keuntungan maupun kerugiannya

2)      Bulan ke-1 keuntungannya : 60.000 rupiah

3)      Bulan ke-2 keuntunganya : 20.000 rupiah

4)      Keuntungan selama 2 bulan : (60.000+20.000) rupiah

5)      Bulan ke-3 rugi sebesar : 95.000 rupiah

6)      Keuntungan/kerugian selama 3 bulan : (  60.000+20.000-95.000) rupiah

7)      Keuntungan keugian setiap orang  : ((60.000+20.000)-95.000) : 2

8)      Kalimat matematikanya : (60.000+20.000)-95.000) : 2=n

9)      Didapatkan :n  =(60.000+20.000)-95.000) : 2

      =(80.000-95.000):2

      =-15.000:2

      =-7.500

                                      Jadi ,setiap pedagang mendapat rugi 7.500 rupiah

Agar lebih memahami cara-cara menyelesaikan soal cerita ini para siswa diminta untuk mengerjakan soal-soal latihan seperti yang termuat pada buku murid, atau kita siapkan beberapa soal untuk diberikan sebagai PR. Sebagian atau seluruh dari soal yang diberikan sebagai latihan , sebaiknya didiskusikan kembali di dlam kelas untuk mengecek pemahaman materi yang telah diberikan dan seklaigus sebagai usaha penguatan dan pengendapan yang bersifat positif. 

1. MENGENAL BILANGAN ROMAWI.

1.    Pengantar.

Sebelum dilaksanakannya pembelajaran tentang bilangan romawi, ada baiknya kita mengetahui dan memahami terlebih dahulu apa itu “bilangan” dan “lambang bilangan”. Bilangan adalah sesuatu yang penting dalam matematika.Bilangan dengan lambang bilangan adalah berbeda. Perbedaan antara bilangan dan lambang bilangan adalah perbedaan antara objek dan nama objek tersebut.

Perkataan “bilangan” biasanya dimaksudkan untuk menyatakan jumlah atau banyaknya sesuatu.Dalam penulisan suatu bilangan digunakan lambing yang di sebut lambang bilangan.Jadi, lambing bilangan adalah simbol atau gambar yang melambangkan suatu bilangan.Lambang bilangan dapat disebut angka.Lambang bilangan itu bermacam- macam, ada angka China, Mesir, Hindu- Arab, Romawi dan sebagainya.

Pada kesempatan ini kita akan melaksanakan pembelajaran suatu sistem nomerasi yang berbeda dengan sistem Hindu- Arab, yaitu sistem angka Romawi yang sudah dikenal sejak ratusan tahun sebelum masehi.

2.    Lambang Bilangan Romawi

a.       Sistem romawi merupakan sistem penjumlahan dan perkalian .

X à 10

V à 5

I  à 1

I  à1    +

       17

b.      Bila suatu angka terdiri dari dua lambang maka nilai angka tersebut :

1)      Sama dengan jumlah nilai kedua lambang bilangan itu, jika lambang-lambangnya mempunyai nilai yang menurun dari kiri ke kanan ( nilai yang paling tinggi terletak di sebelah kiri) .

2)      Sama dengan selisih  nilai kedua lambang bilangan itu, lambang- lambangnya mempunyai nilai yang menaik  ( nilai yang paling tinggin terletak di sebelah kanan).

Contoh:

IV = 5-1= 4

( dari kiri ke kanan nilainya naik atau nilai yang paling tinggi di sebelah kanan jadi di kurangkan).

VI = 5+1 = 6

( dari kiri ke kanan nilainya turun atau nilai yang paling tinggi di sebelah kiri, jadi di jumblahkan)

c.       Banyaknya lambang yang diletakan sebelah kiri lambang yang dikurangi hanya satu lambang, sedangkan sebelah kanan bertambah boleh lebih dari satu lambang.

Contoh :

XIII = 10+3= 13

d.      Lambang bilangan yang sama bila tulisnya berurutan tidak boleh lebih dari tiga angka (lambang bilangan).

Contoh :

4 ditulis  IV dan bukan IIII

e.       Pengurangan mempunyai aturan sebgai berikut, I hanya dapat dikurangkan dari V dan X, hanya dapat dikurangkan dari L dan C, dan C hanya dapat dikurangkan dari D dan M. ( hanya ada enam kasus)

Contoh :

IV = 5-1 = 4

IX = 10-1 = 9

XL = 50 – 10 = 40

XC = 100 – 10 = 90

CD = 500 – 100 = 400

CM = 1000 – 100 = 900

( hanya ada enam kasus untuk sebuah bilangan yang terdiri dua lambang )

f.       Karna sistem angka Romawi ini mempunyai dasar (basis) 10 maka dalam penulisannya kita tidak pernah melihat lambang-lambang besar yang bukan perpangkatan dari 10 dijajarkan

Contoh :

V = 5 x 1000 = 5000

V = 5 x 1000 x 1000 = 5.000.000

B. MENGUBAH BILANGAN DESIMAL KE DALAM BILANGAN ROMAWI  DAN  SEBALIKNYA

1. Mengubah Bilangan Desimal menjadi Bilangan Romawi

Setelah para siswa memahami ketentuan-ketentuan dasar atau aturan pokok tentang sistem lambang bilangan Romawi seperti diatas maka melalui tanya jawab kita coba susun untuk merencanakan pembelajaran berikutnya.

Guru menulis di papan tulis beberapa bilangan dalam sistem lambang bilangan desimal (Hindu-Arab). Kemudian meminta salah seorang siswa secara bergiliran untuk menuliskannya dalam sistem lambang bilangan Romawi dengan bimbingan dan arahan dari guru semua siswa dalam kelas memperhatikan dan menjawabnya dengan benar, misalnya variasi soalnya dibuat sedemikian rupa mulai dari yang sederhana seperti berikut.

Tulislah lambang bilangan Romawi untuk bilangan-bilangan berikut.

a.                   6 = …

1.)    Apakah 6 = I I I I I I ?

2.)    Apakah pada sistem Romawi di bolehkan menulis lebih dari 3 lambang bilangan secara berurutan ?

3.)    6 = 5 + 1 = VI, sebab dari kiri ke kanan nilainya turun berarti harus dijumlahkan

b.              4000 = ..

1.)    Apakah 4000 = M M M M?

2.)    4000 = 4 x 1000.

3.)    Bagaimanakah cara penulisan yang menggunakan perkalian dengan 1000?

4.)    4000 = 4 x 1000 = IV.

c.              24 = …

1.)    24 = 20 + 4

2.)    Bagaimanakah cara penulisan 20 dan bagaimana penulisan 4?

3.)    20 = XX dan 4 = IV

4.)    24 = 20 + 4 = XXIV.

d.             499 = …

1.)    499 = 400 + 90 + 9

2.)    Bagaimana penulisan bilangan 400, 90, dan 9?

3.)    Mengapa 400 = 500 – 100, 90 = 100 – 10, dan 9 = 10 – 1?

(ingat C hanya bisa dikurangkan dari D atau M, X hanya bisa dikurangkan dari L dan C, sedangkan I hanya bisa dikurangkan dari V dan X)

         4). 499 = 400 + 90 +  9

= (500 – 100) + (100 – 10) + (10 – 1)

 = C D X C I X.

e.              323 = …

1). 323 = 300 + 20 + 3

           = (3 x 100) + (2 x 10) + (3 x 1)

2). Apakah dalam sistem Romawi dibolehkan menulis tiga lambang atau kurang secara berurutan?

3). 323 = C C C X X I I I

Setelah guru memberikan beberapa contoh seperti diatas, kemudian memberikan beberapa variasi soal seperti berikut untuk di diskusikan.

            Tulislah lambang-lambang bilangan Romawi dari bilangan-bilangan berikut.

1). 1983 = …

         = 1000 + 900 + 80 + 3

         = 1000 + (1000 – 10) + (50 + 30) + 3

         = M C M L X X X I I I

2). 3249 = …

         = 3000 + 200 + 40 + 9

         = (3 x 1000) + (2 x 100) + (50 – 10) + (10 – 1)

         = M M M C C X L I X

3). 1874 = …

         = 1000 + 800 + 70 + 4

         = (1 x 1000) + (500 + 300) + (50 + 20) + (5 – 1)

         = M D C C C L X X I V

4). 6496 = …

         = 6000 + 400 + 90 + 6

         = ( 6 x 1000) + ( 500 – 100) + ( 100 – 10) + (5 + 1)\

         = V C D X C V I

5). 9407 = …

         = 9000 + 400 + 7

         = (9 x 1000) + (500 – 100) + (5 + 2)

         = I X C D V I I

6). 23.000 = …

            = 23 x 1000

            = ( 20 + 3) x 1000

7). 54.000 = …

            = (54 x 1000)

            = (50 + 4) x 1000

            = (50 + (5 – 1) ) x 1000

            = L I V           

8). 94.000.000 = …

                   = 94 x 1.000.000

                   = (90 + 4) x 1.000.000

                   = ( (100 – 10) + (5- 1) ) x 1000 x 1000

                   = X C I V

9). 1. 954. 000 = …

                   = 1.000.000 + 900.000 + 50.000 + 4.000

                   = ( 1 x 1000) x 1000 + (1000 – 100) x 1000 + (50) x 1000 + (5 – 1) x 1000

                   = ( (1 x 1000) ) + (1000 – 100) + (50) + (5 – 1) ) x 1000

                   = M C M L I V

10). 9.457.000.000 = …

 = 9.000.000.000 + 400.000.000 + 50.000.000 + 7.000.000

= 9 x 1.000.000.000 + 400 x 1.000.000 + 50 x 1.000.000 + 7 x                                1.000.000 = (10 – 1) x 1.000.000.000 + (500 -100) x 1.000.000 +         

(50) x 1.000.000 + (5 + 2) x 1.000.000

            = ( (9 x 1000) + (500 – 100) + (50) + (5 + 2) ) x 1.000.000

                        = I X C M L V I I

            Setelah siswa diberi berbagai variasi soal tentang mengubah bilangan desimal menjadi bilangan Romawi maka langkah berikutnya adalah pembelajaran untuk mengubah bilangan Romawi menjadi bilangan desimal.

2. Mengubah Bilangan Romawi Menjadi Bilangan Desimal

Langkah-langkah pembelajaran untuk mengubah dari sistem Romawi menjadi sistem Desimal dapat dilakukan seperti alternatif pembelajaran di atas (2).

Tulislah bilangan desimal dari bilangan-bilangan Romawi berikut.

a). X V I I I = …

               = 10 + 5 + 3

               = 18

b). C D X C I = …

                  = (500 – 100) + (100 – 10) + 1

                  = 400 + 90 + 1

                  = 491

c). M M M D C C L X I I I = (3 x 1000) + (500 + 200) + (50 + 10) + 3

            = 3000 + 700 + 60 + 3

                                     = 3763

d). I X D C X L I V = (10 – 1) x 1000 + (500 + 100) + (50 – 10) + (5 – 1)

                        = 9000 + 600 + 40 + 4

                        = 964

e).  M M C M L X X X V I I = …

                        = (2000 + (1000 – 100) + (50 + 30) + (5 + 2) ) x 1000 x 1000

                        = (2000 + 900 + 80 + 7) x 1000 x 1000

             = 2.987.000.000

            Perubahan dari bilangan romawi menjadi bilangan desimal, perlu diberikan contoh untuk didiskusikan mengenai penulisan yang salah.Hal ini perlu didiskusikan dengan setiap siswa dikelas sebagai salah satu usaha untuk mengingatkan kembali tentang aturan-aturan yang berlaku dalam sistem bilangan Romawi seperti yang telah dibicarakan diatas, misalnya beberapa alternatif seperti contoh berikut.

            Jika memungkinkan tulislah lambang-lambang bilangan desimalnya dari bilangan Romawi berikut, jika tidak sebutkan alasannya.

a). I I V = …

b). C C C M = …

c). L C = …

d). L L L = …

e). X X X X = …

Pertanyaan-pertanyaan yang mungkin kita ajukan untuk melacak dan membimbing kea rah yang benar dapat diajukan beberapa pertanyaan seperti berikut.

a). Bagaimana penulisan bilangan desimalnya?

b). Apakah penulisan bilangan Romawi ini mempunyai arti?

c). Mengapa bilangan Romawi ini tidak mempunyai arti?

Dari pengajuan pertanyaan pertama ke pertanyaan ke dua dan selanjutnya perlu dipertimbangkan pemberian waktu yang cukup sehingga memberikan kesempatan kepada para siswa untuk memperhatikan, menuliskannya, dan memberikan alternatif pendapatnya. Guru harus sabar untuk menantinya, karena para siswa berbeda dengan kita. (ingat anak bukan bentuk mikro orang dewasa).

Kelima soal diatas tidak mungkin dapat diselesaikan.Penulisan dalam sistem desimalnya tidak mungkin.Penulisan lambang bilangan Romawinya tidak mempunyai arti, ada pun alasannya berturut-turut sebagai berikut.

a). Untuk soal nomor (1) IIV, dua angka I tidak boleh menjadi pengurang V.

Memang letak angka I hanya boleh dikurangkan dari V dan X, tetapi banyaknya

pengurang hanya satu angka.

b). CCCM, tiga buah angka C tidak dibolehkan menjadi pengurang dari angka M

angka C hanya boleh menjadi pengurang dari M atau dari D sebanyak satu angka

yaitu C M = 900 dan CD = 400.

c). LC, angka (lambang bilangan) L = 50 tidak boleh menjadi pengurang dari angka

C = 100. Angka L tidak termasuk ke dalam angka-angka yang diskusinya pada

kelas sehingga terjadi diskusi kelas guru.